\chapter{时域积分方程基础}
时域积分方程（TDIE）方法作为分析瞬态电磁波动现象最主要的数值算法之一，常用于求解均匀散射体和表面散射体的瞬态电磁散射问题。

\section{时域积分方程的类型}

\section{空间基函数与时间基函数}
利用数值算法求解时域积分方程，首先需要选取适当的空间基函数与时间基函数对待求感应电流进行离散。

\subsection{空间基函数}
RWG 基函数是定义在三角形单元上的最具代表性的基函数。它的具体定义如下：
\begin{equation}
f_n(\bm{r})=
\begin{cases}
\frac{l_n}{2A_n^+}\bm{\rho}_n^+=\frac{l_n}{2A_n^+}(\bm{r}-\bm{r}_+)&\bm{r}\in T_n^+\\
\frac{l_n}{2A_n^-}\bm{\rho}_n^-=\frac{l_n}{2A_n^-}(\bm{r}_--\bm{r})&\bm{r}\in T_n^-\\
0&\text{otherwise}
\end{cases}
\end{equation}

其中，$l_n$为三角形单元$T_n^+$和$T_n^-$公共边的长度，$A_n^+$和$A_n^-$分别为三角形单元$T_n^+$和$T_n^-$的面积（如图\ref{pica}所示）。

\begin{figure}[h]
	\includegraphics{pica.pdf}
	\caption{RWG 基函数几何参数示意图}
	\label{pica}
\end{figure}

由于时域混合场积分方程是时域电场积分方程与时域磁场积分方程的线性组合，因此时域混合场积分方程时间步进算法的阻抗矩阵特征与时域电场积分方程时间步进算法的阻抗矩阵特征相同。
\begin{equation}
\label{latent_binary_variable}
\bm{r}_{i,j}=
\begin{cases}
1,f(\bm{x}^{i};\bm{w})\cdot f(\bm{x}^{j};\bm{w})\geq u(\lambda),\\
0,f(\bm{x}^{i};\bm{w})\cdot f(\bm{x}^{j};\bm{w})< l(\lambda), 1\leq i,j\leq n.\\
f(\bm{x}^{i};\bm{w})\cdot f(\bm{x}^{j};\bm{w}),\text{otherwise},
\end{cases}
\end{equation}

时域积分方程时间步进算法的阻抗元素直接影响算法的后时稳定性，因此阻抗元素的计算是算法的关键之一，采用精度高效的方法计算时域阻抗元素是时域积分方程时间步进算法研究的重点之一。


\subsection{时间基函数}

\subsubsection{时域方法特有的展开函数}

\subsubsection{频域方法特有的展开函数}

\section{入射波}

如图\ref{picb}和图\ref{picc}所示分别给出了参数$E_0=\hat{x}$，$a_n=-\hat{z}$，$f_0=250MHz$，$f_w=50MHz$，$t_w=4.2\sigma$时，调制高斯脉冲的时域与频域归一化波形图。

\begin{figure}[h]
\subfloat[]{
	\label{picb}
	\includegraphics[width=7.3cm]{picb.pdf}
}
\subfloat[]{
	\label{picc}
	\includegraphics[width=6.41cm]{picc.pdf}
}
\caption{调制高斯脉冲时域与频率波形，时域阻抗元素的存储技术也是时间步进算法并行化的关键技术之一。(a)调制高斯脉冲信号的时域波形；(b)调制高斯脉冲信号的频域波形}
\label{fig1}
\end{figure}

时域阻抗元素的存储技术\citing{xiao2012yi}也是时间步进算法并行化的关键技术之一，采用合适的阻抗元素存储方式可以很大的提高并行时间步进算法的计算效率。

\section{本章小结}
本章首先从时域麦克斯韦方程组出发推导得到了时域电场、磁场以及混合场积分方程。
